目錄中考最值問題歸納 代數(shù)式的最大值和最小值公式 代數(shù)式求最值五種方法 初中數(shù)學(xué)最大值問題 初中數(shù)學(xué)最值問題歸納總結(jié)
最大值最小值有很多求法。比如一次函數(shù)，看斜率宴穗k，k大于0，x越大y越大。k小于0，x越大y越小。如果是二次函數(shù)，用配方法，先配派襪成完全平方式加上一晌羨卜個(gè)常數(shù)，再看a大于0，這個(gè)常數(shù)就是最小值，如果a小于0，常數(shù)是最大值。
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最值問題的常用解法及模型如下：
模型一：三角函數(shù)有界性
在三角函數(shù)中，正弦函數(shù)與余弦函數(shù)具有一個(gè)最基本也是最重要的特征——有界性，這是求解三角最值問題的最常用的方法。
另外，在解三角形問題中，兩大利器就是正弦定理和余弦定理，它們兩個(gè)的基本操作方法無非就是“角化邊”或者“邊化角”，將多元問題降元，轉(zhuǎn)變成一元問題，再結(jié)合三角鋒御函數(shù)的有界性即可求解出最值。
模型二：二次函數(shù)性質(zhì)
將求解的最值問題轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)的最值問題，這樣題目就迎刃而解。
例題：已知△ABC中，c=2，b=√3a，則試求△ABC面積的最大值。
模型三：基本不等式及推論
1、利用正弦定理或余弦定理，轉(zhuǎn)化為二元問題，再利用基本不等式及其推論求解最值。
對(duì)老團(tuán)于拋物線f(x)=ax2+bx+c端點(diǎn)函數(shù)值為f(t1)=at12+bt1+cf(t2)=at22+bt2+c
繪制出拋物線的圖形，根據(jù)其開口方向，即可判斷函數(shù)有最大值還是最小值
a>0時(shí)，圖形開口向下，圖形有最大值，最大值點(diǎn)為頂點(diǎn)，最小值點(diǎn)在區(qū)間端點(diǎn)處取得
a<0時(shí)，圖形開口向上，圖形有最小值，最小值點(diǎn)為頂點(diǎn)，最大值點(diǎn)在區(qū)間端點(diǎn)處取得
2、對(duì)于正比例函數(shù)f(x)=kx，圖形為一條直線，最大值和最小值均在端點(diǎn)處取得。
3、對(duì)于反比例函數(shù)f(x)=k/x，(x≠0)圖形為雙曲線，若區(qū)間內(nèi)不包含x=0的點(diǎn)，則函數(shù)在端點(diǎn)處取得最值，若區(qū)間內(nèi)包含x=0的銀含巖點(diǎn)，區(qū)間因x=0點(diǎn)無定義而分段，函數(shù)圖形分段，須分段討論最值。
4、對(duì)于三角函數(shù)f(x)=Asinx，最大可能取值A(chǔ)，最小可能取值-A，其最值因區(qū)間而異。
幾何最值問題是指在一定的條件雹簡答下，求平面幾何圖形中某個(gè)確定的量（如線段長度、角度大小、圖形面積等）的最大值或最小值。在源慧中考中常以填空選擇及解答題形式出現(xiàn)，難易程度多為難題、壓軸題。務(wù)必掌握求幾何最值的基本方法：
（1）特殊位置及極端位置法：先考慮特殊位置或極端位置，確定最值的具體數(shù)據(jù)，再進(jìn)行一咐春般情況下的推理證明（2）幾何定理（公理）法：應(yīng)用幾何中的不等量性質(zhì)、定理。常見幾何性質(zhì)有：兩點(diǎn)之間線段最短；點(diǎn)到直線垂線段最短；三角形兩邊之和大于第三邊；斜邊大于直角邊（3）數(shù)形結(jié)合法：分析問題變動(dòng)元素的代數(shù)關(guān)系，構(gòu)造二次函數(shù)等。
代數(shù)最值問題一般以應(yīng)用題形式出現(xiàn)，常見題型為求一個(gè)花費(fèi)最低、消耗最少、產(chǎn)值最高、獲利最大的方案。作為各地中考必考題之一，難度以中檔為主，是所有學(xué)生必拿之分。解這類題目的關(guān)鍵點(diǎn)在于合理建立函數(shù)模型，理解題意的基礎(chǔ)上，合理設(shè)出未知量，分析題中等量關(guān)系，列出函數(shù)解析式或方程，求解、討論結(jié)果意義并以“答：……”做結(jié)尾。特別注意如果所列方程為分式方程，需檢驗(yàn)增根！
具體例題題型如下：
初中數(shù)學(xué)競賽中最值問題求法應(yīng)用雹培毀舉例
最值問題是數(shù)學(xué)競賽中考試的重要內(nèi)容之一，任何一級(jí)、任何一年的競考都是必考內(nèi)容?，F(xiàn)根據(jù)我在輔導(dǎo)學(xué)生過程中的體會(huì)歸納整理如下：
（一）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求最值。
1、若M =（X±a）2 +b ，則當(dāng)X±a = 0時(shí)M有最小值b 。
2、若M = －（X±a）2 + b ,則當(dāng)X±a = 0 時(shí)M有最大值b 。
3、用（a±b）2≥0 ，∣a∣≥0,a≥0的方法解題。
【說明：這里用到的很重要的思想方法是配方法和整體代換思想。】
2 22例題（1）、若實(shí)數(shù)a ，b ，c 滿足a+ b + c = 9，則代數(shù)式 （a － b）2+
（b —c）2+（c － a）2的最大值是 （）
A．27B、18C、15D、12
解：(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2= 2(a2+b2+c2)－2ab－2bc－2ca = 3(a2+b2+c2)－a2－b2－c2－2ab－2bc－2ca = 3(a2+b2+c2)－(a2+b2+c2＋2ab＋2bc＋2ca)
=3(a2+b2+c2)－(a+b+c)2 = 27－(a+b+c)2 ≤ 27 .∵a2+b2+c2 = 9 ,∴ a,b,c 不全為0 。當(dāng)且僅當(dāng)a + b + c = 0 時(shí)原式的最大源備值為 27 。
222【說明，本例的關(guān)鍵是劃線部份的變換，采用加減(a＋b＋c)后用完全平
方式?！?/p>
例題（2）、如果對(duì)于不小于8的自然數(shù)N ，當(dāng)3N+1是一個(gè)完全平方數(shù)時(shí)，N +
1都能表示成K個(gè)完全平方數(shù)的和，那么K的最小值是 （）
A、1B、2C、3D、4
解：設(shè) ∵ 3N+1是完全平方數(shù)，∴ 設(shè) 3N+1 = X2 （N≥ 8），則3不能整
2除X，所以X可以表示成3P±1的形式。3N＋1=（3P±1）= 9P2±6P+1=3X2
±2X+1=X2+X2+（X±1）2。即3N+1能夠表示成三個(gè)完全平方數(shù)的和。所以K的最小值為 3 。選 C 。
【說明，本例的關(guān)鍵是如何把3X2拆成X2＋X2＋X2，然后配方求解?！?例題（3）、設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，那么a2＋ab＋b2－a－2b的最小值是——————————。
b?12解：a2＋ab＋b2－a－2b = a2＋(b－1)a＋b2－2b = a2＋(b－1)a＋()2
331b?123＋b2－b－ =(a＋)＋(b－1)2－1 ≥ －1 。只有當(dāng)a＋42424
b?1= 0且b－1= 0 時(shí)，即a=0，b=1時(shí)取等號(hào)。所以原式的最小值是－1。2
【注意：做這一類題的關(guān)鍵是先按一個(gè)字母降冪排列，然后配方?！?例題（4）、已知實(shí)數(shù)a、b滿足a2＋ab＋b2=1 ，則a2－ab＋b2的最小值和最大
值的和是———————— 。
1222222 解：設(shè)a－ab＋b = K,與a＋中洞ab＋b =1聯(lián)立方程組,解得：a＋b = (12
1＋K),ab = (1－K)。 2
11∵(a＋b)2≥0,∴a2＋b2＋2ab=(1＋K)＋2×(1－K)≥0,∴K≤3 .22
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用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來探究幾何圖形變化規(guī)律的試題稱之為動(dòng)態(tài)幾何型試題。 動(dòng)態(tài)幾何型試題以運(yùn)動(dòng)為載體，集代數(shù)與幾何的眾多知識(shí)于一體，并且滲透了分類討論、轉(zhuǎn)化化歸、數(shù)形結(jié)合，函數(shù)方程等重要的數(shù)學(xué)思想。動(dòng)態(tài)幾何中的最大、最小值問題常常利用圖形變換過程中的變量與不變量，動(dòng)中求靜，利用變量的有關(guān)性質(zhì)來解決。
動(dòng)態(tài)幾何型試題中的求最值問題多出現(xiàn)在中考?jí)狠S題中，常見的動(dòng)態(tài)幾何型試題有三種類型：點(diǎn)動(dòng)型試題，線動(dòng)型試題，形動(dòng)型試題。
解題的關(guān)鍵是把握以下三點(diǎn)：
借助圖形在運(yùn)動(dòng)中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題來探究幾何圖形的變化規(guī)律。
借助圖形在四種變換（平移、旋轉(zhuǎn)、折疊、相似）過程中的變量與不變量，動(dòng)中汪裂求靜，利用變換的有關(guān)性質(zhì)來解決一些幾何圖形的最值問題。
解答過程中往往需要綜合運(yùn)用旦陵凱轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，方程思想，函數(shù)思想等多種數(shù)學(xué)思想。
一、點(diǎn)動(dòng)型試題：這類試題通常是在三角形、四邊形、函數(shù)圖像等一些幾何圖形上，設(shè)計(jì)一個(gè)或幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)，并對(duì)這些點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化的過程中相伴隨著的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行研究考察。點(diǎn)動(dòng)型試題常常集幾何、代數(shù)知識(shí)于一體，數(shù)形結(jié)合，有較強(qiáng)的綜合性。
例如：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（4，-1）的拋物線交y軸于A點(diǎn)，交x軸于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)），已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）。若點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于A、C兩點(diǎn)之間，問：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△PAC的面積最大？并求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△PAC的最大面積。
分析：過點(diǎn)P作平行于y軸的直線交AC于點(diǎn)Q，然后又割補(bǔ)法可得：S△PAC=S△PAQ+S△PCQ，最后將問題轉(zhuǎn)化為S△PAC=?PQ×OC求解。
解答過程：
點(diǎn)評(píng)：試題貌似平凡，但細(xì)細(xì)品味，卻有深藏不露的“精彩”，尤其是關(guān)于面積最值的探究問題，如果分析方向不正確，也很難找到思路，此外，試題對(duì)函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法等重要的數(shù)學(xué)思想方法都有較好的體現(xiàn)。
二、線動(dòng)型試題：這類試題是以線的移動(dòng)或旋轉(zhuǎn)來揭示圖形的性質(zhì)和變化規(guī)律的試題
點(diǎn)評(píng)：試題以直角坐標(biāo)系為背景，以對(duì)稱性及二次函數(shù)為載體，起點(diǎn)不高，但要求較全面，融入了動(dòng)態(tài)幾何的變和不變、數(shù)形結(jié)合、化歸等數(shù)學(xué)思想。解好本題除了必須具有扎實(shí)的基礎(chǔ)知識(shí)外，還需有良好的思維習(xí)慣和心理素質(zhì)。
三、形動(dòng)型試題：這類試題主要包含圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折和滑動(dòng)四大類。
點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合矩形的性質(zhì)以及三角形的相似，考查模喚了二次函數(shù)的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想來求解是本題的基本思路。
總之，初中的幾何圖形動(dòng)點(diǎn)問題中求最值往往要把一般化為特殊，動(dòng)中求靜，利用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、函數(shù)思想等多種思想來解決問題。
