數(shù)學(xué)分析定理？這是調(diào)和級數(shù)的變形，是個(gè)發(fā)散的數(shù)列。當(dāng)n→∞時(shí)前n項(xiàng)和應(yīng)該是∞。可以用高等數(shù)學(xué)中的冪級數(shù)展開去證明其發(fā)散性,也可以簡單地這么理解：已知1/3到1/2n+1顯然有n個(gè)數(shù)（n=1,2,3）取后面n/2個(gè)數(shù)，那么，數(shù)學(xué)分析定理？一起來了解一下吧。
1、令F(t)=te^t-1
則F(0)=-1<0,F(1)=e-1>0
由介值定理知存在ξ∈(0,1)使得F(ξ)=0
即ξe^ξ-1=0=>ξ=e^(-ξ)
2、h(x)=x單增，g(x)=e^(-x)單減
且x=ξ處h(x)=g(x)。
故(0,ξ)上h(x)
故當(dāng)x≠ξ時(shí)，x-ξ與e^(-x)-ξ異號
且令
f(x)=(x-ξ)/(e^(-x)-ξ)-1
=(x-e^(-ξ)-ξ+e^(-x))/(e^(-x)-ξ)
=[1/(e^(-x)-ξ)][(x+e^(-x))-(ξ-e^(-ξ))]，
且由于y=x+e^(-x)為以ξ為最小值點(diǎn)的對號函數(shù)（于(0,1)）
故(x+e^(-x))-(ξ-e^(-ξ))>0
當(dāng)x<ξ時(shí)，(e^(-x)-ξ)>0;當(dāng)x>ξ時(shí)，(e^(-x)-ξ)<0
故x<ξ時(shí)，|x-ξ|>|e^(-x)-ξ|，
正項(xiàng)數(shù)列yn=|xn-ξ|單減到0
{x(2n+1)}單增到ξ,{x(2n)}單減到ξ,{xn}收斂到ξ。
同理x>ξ時(shí)，
{x(2n)}單減到ξ，{x(2n+1)}單增到ξ，{xn}收斂到ξ。
證畢
海因一巴拿赫定理(Hahn-Banach theorem)凸集幾何的基本定理.它是關(guān)于凸集與超平面的定理.它在泛函分析中有重要的應(yīng)用。
其關(guān)鍵乃是超平面與線性形式之間有著對應(yīng)關(guān)系.若X是仿射空間，A是X的一個(gè)非空凸開集，且1是X的一個(gè)仿射子空間，使得A門L=必，則存在X的一個(gè)超平面，它包含L，并且與A不相交。
在泛函分析中，巴拿赫定理是一個(gè)極為重要的。它允許了定義在某個(gè)向量空間上的有界線性算子擴(kuò)張到整個(gè)空間，并說明了存在“足夠”的連續(xù)線性泛函，定義在每一個(gè)賦范向量空間，使對偶空間的研究變得有趣味。
這是調(diào)和級數(shù)的變形，是個(gè)發(fā)散的數(shù)列。當(dāng)n→∞時(shí)前n項(xiàng)和應(yīng)該是∞?？梢杂酶叩葦?shù)學(xué)中的冪級數(shù)展開去證明其發(fā)散性,也可以簡單地這么理解：已知1/3到1/2n+1顯然有n個(gè)數(shù)（n=1,2,3...）取后面n/2個(gè)數(shù)，即從1/n+2到1/2n+1,求和，Σ>(n/2)/(2n+1)=1/(4+(2/n))；當(dāng)n→∞時(shí)，1/(4+(2/n))=1/4,即:Σ>1/4,不防設(shè)前n/2個(gè)數(shù)最后一位為1/2k+1，同理取前k/2個(gè)數(shù)，后k/2求和，同樣有：Σ>1/4 由于n→∞，所以是可以無限劃分的，每個(gè)1/2的累加都大于1/4, 相當(dāng)于無窮多個(gè)1/4相加，可知該數(shù)列發(fā)散。實(shí)際上對于有限項(xiàng)n，其求和公式為：φ(n+(2/3))/2 +γ/2+ln2-1,其中φ函數(shù)=F'/F , F表示gamma函數(shù)
微分中值定理(即羅爾定理, 拉格朗日定理, 柯西定理, 泰勒定理)是數(shù)學(xué)分析上冊最重要的內(nèi)容之一, 想要學(xué)好中值定理, 首先要學(xué)習(xí)它們的證明方法, 需要強(qiáng)調(diào)的是拉格朗日中值定理與柯西中值定理均可由羅爾中值定理進(jìn)行證明, 證明的方法為積分法, 這是構(gòu)造輔助函數(shù)最基本的一種手段, 另外由此也可以看出羅爾中值定理的極端重要性.
1.羅爾中值定理的證明過程如下所示：
注意：羅爾中值定理是微分中值定理的基本，根據(jù)之后的積分法可知，拉格朗日中值定理和柯西中值定理是由羅爾中值定理證明的，也就是說，理論上，可以用拉格朗日中值定理或者柯西中值定理的題目，均可以由羅爾中值定理證明。
2.拉格朗日中值定理的證明過程如下所示：
3.柯西中值定理的證明過程如下所示：
經(jīng)過以上三個(gè)微分中值定理的證明過程之后，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，在拉格朗日中值定理中如果f(a)=f(b),就是羅爾中值定理，在柯西微分中值定理中，如果g(x)=x,那么就成為了拉格朗日中值定理，我們就可以得出他們之間的關(guān)系為：拉格朗日中值定理是柯西中值定理的一種特殊情況，同樣，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一種特殊情況。
定義1：設(shè)f在上有定義,若,則稱f在點(diǎn)連續(xù)
定義2：若,則在點(diǎn)連續(xù)
定義3：若,使得時(shí)有,則稱f在點(diǎn)連續(xù)
注：f在點(diǎn)連續(xù)即極限運(yùn)算與對應(yīng)法則f可交換,
例：證明函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),其中為Dirichlet函數(shù)
證：
定義：設(shè)f在內(nèi)有定義,若,則稱f在點(diǎn)右(左)連續(xù)
定理：f在點(diǎn)連續(xù)f在既是右連續(xù)又是左連續(xù)
定義：設(shè)f在內(nèi)有定義,若f在點(diǎn)無定義,或f在點(diǎn)有定義而不連續(xù),則稱點(diǎn)為f的間斷點(diǎn)或不連續(xù)點(diǎn)
1.f在點(diǎn)無定義或不存在
2.f在點(diǎn)有定義且存在,但
1.可去間斷點(diǎn)
若,而f在點(diǎn)無定義,或有定義但,則稱為f的可去間斷點(diǎn)
設(shè)為函數(shù)f的可去間斷點(diǎn),且,定義一個(gè)函數(shù)
顯然對于,是它的連續(xù)點(diǎn)
2.跳躍間斷點(diǎn)
若f在點(diǎn)的左、右極限都存在,但,則稱點(diǎn)為f的跳躍間斷點(diǎn)
注：可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn),第一類間斷點(diǎn)的特點(diǎn)是函數(shù)在該點(diǎn)處的左、右極限都存在
3.第二類間斷點(diǎn)
函數(shù)的所有其他形式的間斷點(diǎn),即,使函數(shù)至少有一側(cè)極限不存在的點(diǎn)
例：Dirichlet函數(shù)定義域R上每一點(diǎn)x都是第二類間斷點(diǎn)
定義：若f在區(qū)間I上的每一點(diǎn)都連續(xù),則稱f為I上的連續(xù)函數(shù)
對于閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間的端點(diǎn),函數(shù)在這些點(diǎn)上連續(xù)是指左連續(xù)或右連續(xù)
定義：若f在區(qū)間[a,b]上僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),則稱f在[a,b]上分段連續(xù)
例：證明Riemann函數(shù)
在(0,1)內(nèi)任何無理點(diǎn)處都連續(xù),任何有理點(diǎn)處都不連續(xù)
證：
以上就是數(shù)學(xué)分析定理的全部內(nèi)容，定理：設(shè)函數(shù) 和 滿足：1.在 上都連續(xù) 2.在 上都可導(dǎo) 3. 和 不同時(shí)為零 4.則 ,使得 證明：作輔助函數(shù) 顯然 在 上滿足羅爾定理?xiàng)l件 故 。
