約瑟夫環(huán)數(shù)學(xué)公式？則獲勝者在上一局的編號(hào)是[(m-1)+(k+1)]=m+k(m-1代表死的那個(gè)人的編號(hào)，而k+1代表死的那個(gè)人的后面第n個(gè)人的編號(hào))，即在上一局中他是第m+k+1個(gè)人。那么，約瑟夫環(huán)數(shù)學(xué)公式？一起來了解一下吧。
23-7圈一圈是指將一個(gè)圓基稿分成23份，然后在其中7個(gè)相鄰的部分上打上標(biāo)記，那么如何圈出這7個(gè)標(biāo)記所在的區(qū)域呢？
首先，我們可以將圓看作一個(gè)鐘表，將23個(gè)區(qū)域從12點(diǎn)開始順時(shí)針依次編號(hào)為1到23。然后，從任意一個(gè)標(biāo)記開始，順時(shí)針數(shù)7個(gè)區(qū)域，將這個(gè)區(qū)域圈起來。接著，從剛才圈起來的納敏區(qū)域開始，再次順洞鋒枝時(shí)針數(shù)7個(gè)區(qū)域，再將這個(gè)區(qū)域圈起來。如此往復(fù)，直到將所有的標(biāo)記所在的區(qū)域圈起來為止。
實(shí)際操作時(shí)，我們可以使用一支筆或者手指，從標(biāo)記開始順時(shí)針移動(dòng)數(shù)個(gè)區(qū)域，然后用另一種顏色的筆或者手指將這個(gè)區(qū)域圈起來。然后再從圈起來的區(qū)域開始繼續(xù)移動(dòng)數(shù)個(gè)區(qū)域，重復(fù)上述操作，直到所有的標(biāo)記所在的區(qū)域都被圈出來。
需要注意的是，每次圈起來的區(qū)域要緊貼著上一次圈起來的區(qū)域，不能有遺漏和重復(fù)的部分。此外，如果最后發(fā)現(xiàn)有標(biāo)記所在的區(qū)域沒有被圈起來，需要重新檢查圈的步驟是否正確。
總之，23-7圈一圈的方法雖然看起來有些復(fù)雜，但只要按照順時(shí)針數(shù)7個(gè)區(qū)域的方法進(jìn)行圈選，就可以準(zhǔn)確地圈出所有的標(biāo)記所在的區(qū)域。
答案：23-7圈一圈的方法是先圈第23個(gè)銷嘩人，然后再每隔7個(gè)人圈一個(gè)人，直到所有人都被圈過為止。
解釋：這個(gè)問題其實(shí)就是一個(gè)約瑟夫環(huán)問題，即在一群人中按照睜遲一定規(guī)律依次淘汰人，最后留下的人是誰。在這個(gè)問題中，我們需要先確定起始點(diǎn)，也就是第一個(gè)被圈的人是誰，然后每次按照規(guī)律圈定下一個(gè)被淘汰的人，直到所有人都被淘汰完畢。
拓展：約瑟夫環(huán)是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)悉斗李學(xué)問題，它的應(yīng)用涉及到很多領(lǐng)域，比如密碼學(xué)、計(jì)算機(jī)算法等。除了23-7圈一圈這種特殊情況，還有很多不同的規(guī)律和初始條件，都可以形成不同的約瑟夫環(huán)問題。對(duì)于這些問題，我們可以通過數(shù)學(xué)方法來求解，得到最終留下的人是誰。
約瑟夫環(huán)（Josephus）問題是由古羅馬的史學(xué)家約瑟夫（Josephus）提出的，他參加并記錄了公元66—70年猶太人反抗羅馬的起義。約瑟夫作為一個(gè)將軍，設(shè)法守住了裘達(dá)伯特兄嘩啟城達(dá)蘆衫47天之久，在城市淪陷之后，他和40名死硬的將士在附近的一個(gè)洞穴中避難。在那里，這些叛亂者表決說“要投降毋寧死”。于是，約瑟夫建議每個(gè)人輪流殺死他旁邊的人，而這個(gè)順序是由抽簽決定的。約瑟夫有預(yù)謀地抓到了最后一簽，并且，作為洞穴中的兩個(gè)幸存者之一，他說服了羨如他原先的犧牲品一起投降了羅馬。
約瑟夫環(huán)問題的具體描述是：設(shè)有編號(hào)為1，2，……，n的n(n>0)個(gè)人圍成一個(gè)圈，從第1個(gè)人開始報(bào)數(shù)，報(bào)到m時(shí)停止報(bào)數(shù)，報(bào)m的人出圈，再從他的下一個(gè)人起重新報(bào)數(shù)，報(bào)到m時(shí)停止報(bào)數(shù)，報(bào)m的出圈，……，如此下去，直到所有人全部出圈為止。當(dāng)任意給定n和m后，設(shè)計(jì)算法求n個(gè)人出圈的次序。
約瑟夫算法：n個(gè)人圍成一圈，每人有一個(gè)各不相同中敗的編號(hào)，選擇一
個(gè)人作為起點(diǎn)，然后順時(shí)針從1到k數(shù)數(shù)，每數(shù)到k的人退出圈子，圈
子縮小，然后從下一個(gè)人繼續(xù)從1到k數(shù)數(shù)，重復(fù)上面過程。求最后推
出圈子的那個(gè)人原來的編號(hào)。
約瑟夫算法可以用循環(huán)鏈表和數(shù)組來解(這兩個(gè)我會(huì))，下面2個(gè)程序
都是用來解決該算法的，其中第（2）直接給出答案，每個(gè)程序都有
證明和講解，
程序1(遞歸法):
#include
#include
int main(void)
{
int n;
int m;
int i = 0;
int p;
scanf("%d%d", &n, &m);
while (++i <= n )
{
p = i * m;
while (p>n)
{
p = p - n + (p-n-1) / (m-1);
}
printf("%d\n", p);
}
return 0;
}
程序2(遞推法):
#include
int main(void)
{
int i;
int s = 0;
int n;
int m;
scanf("%d%d", &n, &m);
for (i = 2; i <= n; i++)
{
s = (s + m) % i;
}
printf("最后的獲勝者是: %d\n", s + 1);
return 0;
}
程序1證明：
假設(shè)數(shù)到第p個(gè)數(shù)時(shí)遇到的數(shù),和數(shù)到第x個(gè)數(shù)到遇到的數(shù)一樣,且p -
n < x < p,而且x % m != 0, 否則會(huì)被跳過和晌拿第個(gè)p數(shù)遇到的數(shù)肯定
不一樣,那么說明數(shù)了x個(gè)數(shù)之后再數(shù)一圈就數(shù)到了第p個(gè)數(shù),而數(shù)一圈
數(shù)過的數(shù)應(yīng)該是n減去要跳過的數(shù)賣謹(jǐn)顫,因?yàn)橐呀?jīng)數(shù)過了x個(gè)數(shù),所以要跳過
[x / m]個(gè)數(shù)( []表示取整數(shù)部分 ),所以x + n - [x / m] = p
問題轉(zhuǎn)化為: p - n = x - [x / m]...(1),且 x % m != 0, p - n <
x < p, 求解x
因?yàn)閤 % m != 0 => x / m - 1 < [x / m] < x / m
=> x - x / m + 1 > x - [x / m] > x - x / m
=> [x - x / m + 1] >= x - [x / m] > [x - x / m]
=> [x - x / m] + 1 >= x - [x / m] > [x - x / m]
=> [x - x / m] + 1 >= x - [x / m] >= [x - x /
m] + 1
=> [x - x / m] + 1 = x - [x / m]
( 代入(1)式 )=> p - n - 1 = [x - x / m] = [x * ( m - 1 ) /
m] ... (2)
因?yàn)閤 % m !=0 且 ( m - 1 ) % m != 0 => ( x * ( m - 1 ) ) %
m != 0
由(2)式 => 0 < x * ( m - 1 ) - m * ( p - n - 1 ) <= m - 1
由左邊: => m * ( p - n - 1 ) < x * ( m - 1 )
=> m * ( p - n - 1 ) / ( m - 1 ) < x
=> [m * ( p - n - 1 ) / ( m - 1 )] < x
=> [m * ( p - n - 1 ) / ( m - 1 )] + 1 <= x ...(3)
由右邊: => x * ( m - 1 ) - ( m - 1 ) <= m * ( p - n - 1 )
=> ( x - 1 ) * ( m - 1 ) <= m * ( p - n - 1 )
=> x - 1 <= m * ( p - n - 1 ) / ( m - 1 )
=> x - 1 <= [m * ( p - n - 1 ) / ( m - 1 )]
=> x <= m * ( p - n - 1 ) / ( m - 1 ) + 1 ...(4)
由(3),(4) => x = [m * ( p - n - 1 ) / ( m - 1 )] + 1
= [ p - n - 1 + ( p - n - 1 ) / ( m - 1 )] +
1
= p - n - 1 + [( p - n - 1 ) / ( m - 1 )] + 1
= p - n + [( p - n - 1 ) / ( m - 1 )]
由于計(jì)算機(jī)算整數(shù)除法直接就取整了,所以遞歸時(shí)就寫成
p = p - n + ( p - n - 1 ) / ( m - 1 )
程序2證明：
Josephus(約瑟夫)問題的數(shù)學(xué)方法(轉(zhuǎn))約瑟夫 （轉(zhuǎn)）
無論是用鏈表實(shí)現(xiàn)還是用數(shù)組實(shí)現(xiàn)都有一個(gè)共同點(diǎn)：要模擬整個(gè)
游戲過程，不僅程序?qū)懫饋肀容^煩，而且時(shí)間復(fù)雜度高達(dá)O(nm)，當(dāng)n
，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時(shí)候，幾乎是沒有辦法在短時(shí)間
內(nèi)出結(jié)果的。
23-7圈一圈是指在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，從起點(diǎn)開始，連陪旅好續(xù)圈數(shù)為23圈，每圈連續(xù)7個(gè)數(shù)字，最后停在第23圈的第7個(gè)數(shù)字上。圈數(shù)和數(shù)字的順序均為順時(shí)針方向。
這個(gè)問題可以用數(shù)學(xué)方法來解決。我們可以將圓形區(qū)域看作一個(gè)由360個(gè)數(shù)字組成的環(huán)形，然后按照順時(shí)針方向從1開始逐個(gè)標(biāo)記每個(gè)數(shù)字，直到360。接下來，我們可以用以下公式來計(jì)算最后停留的數(shù)字：
起始數(shù)字 + (圈數(shù)-1) * 每圈數(shù)字?jǐn)?shù) + 停留數(shù)字位置
其中，起始數(shù)字為1，圈數(shù)為23，每圈數(shù)字?jǐn)?shù)為7，停留數(shù)字位置為第7個(gè)。將這些值代入公式中，即可得到最后停留的數(shù)字為179。
實(shí)際解答方式為：可以用筆和紙模擬出這個(gè)過程，即按照順時(shí)針方向一個(gè)一個(gè)地標(biāo)記數(shù)字，直到停留在第23圈的第7個(gè)數(shù)字上。這種方法比較直觀，但比較耗時(shí)。
對(duì)策為：使用數(shù)學(xué)方法計(jì)算，可以大大縮短時(shí)間，提高計(jì)算準(zhǔn)確性。如果需要解決類似的問題，也可以采用類似的數(shù)學(xué)方法來解決。
拓展說明：這個(gè)問題實(shí)鎮(zhèn)盯際上是一個(gè)經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題，被稱為“圓周率的近似值問題蘆鉛”。這個(gè)問題在歷史上曾經(jīng)引起過很多數(shù)學(xué)家的關(guān)注和研究，也是計(jì)算機(jī)科學(xué)的基礎(chǔ)之一。除了數(shù)學(xué)方法，還有一些其他的算法可以用來解決這個(gè)問題，比如遞歸算法、分治算法等。
以上就是約瑟夫環(huán)數(shù)學(xué)公式的全部?jī)?nèi)容，我們知道第一個(gè)人(編號(hào)一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1個(gè)人組成了一個(gè)新的約瑟夫環(huán)（以編號(hào)為k=m%n的人開始）:k k+1 k+2 n-2, n-1, 0, 1, 2, k-2 并且從k開始報(bào)0。
