目錄垂線段最短的生活現(xiàn)象 高中數(shù)學(xué)最短路徑問題 八年級最短路徑問題7種類型 初二最短路徑問題專項(xiàng)訓(xùn)練 最短路徑12種類型例題
隨著課改的深入，數(shù)學(xué)更貼近于生活，更著眼于解決生產(chǎn)、經(jīng)營中的問題，于是就出現(xiàn)了為省時(shí)、省財(cái)力、省物力而希望尋求最短路徑的數(shù)學(xué)。人們在生產(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問題。數(shù)學(xué)中一些關(guān)于“平面內(nèi)聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)的線中，線段最短”“連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪肪€問題。初中數(shù)學(xué)中的最短路線問題在平面圖形和空間幾何中均有應(yīng)用，特別是空間幾何體中的最短路線問題，通常要借助平面展開圖、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題進(jìn)行求解。下面簡單談一下初中數(shù)學(xué)中遇到的最短路線問題：
一、最短路線問題常見類空廳型
1.巧用公理：兩點(diǎn)之間，線段最短
二、總結(jié)
數(shù)學(xué)來源于生活，又服務(wù)于生活，只有把數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際生活緊密聯(lián)系，才能發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的奧秘。探究最短路線問題，既充滿生活中的趣味性，又是對數(shù)學(xué)思維的挑戰(zhàn)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透數(shù)學(xué)思想往往比單純教會(huì)學(xué)生解題更為重要，意義更加重大。本文中滲透了轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)建模、數(shù)形結(jié)合等思想，而主導(dǎo)思想在于轉(zhuǎn)化，將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題，從而求解。
綜觀例題精解，對于解決最短路線問題，我有以下幾點(diǎn)感悟：
1.最短路線問題的基本原理是：兩答隱點(diǎn)之間線段最短，要學(xué)會(huì)舉一反三，觸類旁通；
2.學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，“化折為直”“化曲為直”斗舉隱，將折線、曲線問題歸結(jié)為直線問題求解；
3.將立體圖形展開轉(zhuǎn)化為平面圖形，找出最短路徑，再構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來求解；
4.正確將立體圖形展開成平面圖形，比如：圓柱、長方體、正方體側(cè)面上最短路徑問題，要注意垂直剪開，這樣展開的側(cè)面才是長方形。
一、十二個(gè)基本問題概述
問題一：在直線 l 上求一點(diǎn) P，使得 PA + PB 值最小 .
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
作法：連接 AB，與直線 l 的交點(diǎn)即為 P 點(diǎn) .
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
原理：兩點(diǎn)之間線段最短 . PA + PB 最小值為 AB .
問題二：（“將軍飲馬問題”）在直線 l 上求一點(diǎn) P，使得 PA + PB 值最小 .
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
作法：作點(diǎn) B 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn) B＇，連接 AB' 與 l 的交點(diǎn)即為點(diǎn) P．
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
原理：兩點(diǎn)之間線段最短．PA + PB 最小值為 AB' .
問題三：在直線 l1、l2 上分別求點(diǎn) M、N，使得 △PMN 的周長最小．
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
作法：分別作點(diǎn) P 關(guān)于兩條直線的對稱點(diǎn) P' 和 P''，連接 P'P''，與兩條直線的交點(diǎn)即為點(diǎn) M，N．
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
原理：兩點(diǎn)之間線段最短．PM + MN + PN 的最小值為線段 P'P'' 的長．
問題四：在直線 l1、l2 上分別求點(diǎn) M、N，使四邊形 PQMN 的周長最?。?/p>
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
作法：分別作點(diǎn) Q、P 關(guān)于直線 l1、l2 的對稱點(diǎn) Q' 和 P' 連接 Q'P'，與兩直線交點(diǎn)即為點(diǎn) M，N.
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
原理：兩點(diǎn)之間線段最短．四邊形 PQMN 周長的最小值為線段 Q'P' + PQ 的長．
問題五：（“造橋選址問題”）直線 m∥n，在 m、n 上分別求點(diǎn) M、N，使 MN⊥m，
且 AM + MN + BN 的值最?。?/p>
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
作法：將點(diǎn) A 向下平移 MN 的長度單位得 A'，伏鄭敬連接 A'B，交 n 于點(diǎn) N，過 N 作 NM⊥m 于 M .
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
原理：兩點(diǎn)之間線段最短 . AM + MN + BN 的最小值為 A'B + MN .
問題六：在直線 l 上求兩點(diǎn) M , N （M 在左），使 MN = a , 并使 AM + MN + NB 的值最小 .
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
作法：將點(diǎn) A 向右平移 a 個(gè)長度單位得 A'，作 A' 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn) A''，連接 A''B 交直線 l 于點(diǎn) N，
將 N 點(diǎn)向左平移 a 個(gè)單位得 M .
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
原理：兩點(diǎn)之間線段最短 . AM + MN + NB 的最小值為 A''B + MN .
問題七：在 l1 上求點(diǎn) A，在 l2 上求點(diǎn) B，使 PA + AB 值最小 .
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
作法：作點(diǎn) P 關(guān)于 l1 的對稱點(diǎn) P'，作 P'B⊥l2 于點(diǎn) B，交 l1 于點(diǎn) A .
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
原理：點(diǎn)到直線，垂線段的距離最短 . PA + AB 的最小值為線段 P'B 的長 .
問題八：A 為 l1上一定點(diǎn)，B 為 l2 上一定點(diǎn)，在 l2 上求點(diǎn) M，在 l1上求點(diǎn) N，
使 AM + MN + NB 的值最小 .
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
作法：作點(diǎn) A 關(guān)于 l2 的對稱點(diǎn) A'叢雀 , 點(diǎn) B 關(guān)于 l1 的對稱點(diǎn) B'，連接 A'B' 交 l2 于點(diǎn) M，交 l1 于點(diǎn) N．
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
原理：兩點(diǎn)之間線段最短．AM + MN + NB 的最小值為線段 A'B' 的長．
問題九：在直缺慎線 l 上求一點(diǎn) P，使 | PA - PB | 的值最?。?/p>
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
作法：連接 AB，作 AB 的中垂線與直線 l 的交點(diǎn)即為 P 點(diǎn)．
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
原理：垂直平分上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等． | PA - PB | = 0 .
問題十：在直線 l 上求一點(diǎn) P，使 | PA - PB | 的值最大．
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
作法：作直線 AB，與直線 l 的交點(diǎn)即為 P 點(diǎn)．
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊． | PA - PB | ≤ AB ， | PA - PB | 的最大值 = AB .
問題十一：在直線 l 上求一點(diǎn) P，使 | PA - PB | 的值最大．
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
作法：作點(diǎn) B 關(guān)于直線 l 的對稱點(diǎn) B' 作直線 AB'，與直線 l 的交點(diǎn)即為 P 點(diǎn)．
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊． | PA - PB | ≤ AB' ， | PA - PB | 的最大值 = AB' .
問題十二：（“費(fèi)馬點(diǎn)”）△ABC 中每一內(nèi)角都小于 120°，在 △ABC 內(nèi)求一點(diǎn) P，
使得 PA + PB + PC 的值最小 .
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
作法：所求點(diǎn)為 “費(fèi)馬點(diǎn)” ，即滿足 ∠APB = ∠BPC = ∠APC = 120° .
以 AB 、 AC 為邊向外作等邊 △ABD、△ACE，連接 CD、BE 相交于點(diǎn) P，點(diǎn) P 即為所求 .
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
原理：兩點(diǎn)之間線段最短 . PA + PB + PC 的最小值 = CD .
二、“費(fèi)馬點(diǎn)” —— 到三點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)
費(fèi)馬點(diǎn)的構(gòu)造方法：
① 所給三點(diǎn)的連線構(gòu)成三角形（△ABC），并且這個(gè)三角形的每個(gè)內(nèi)角都小于 120°；
② 如下圖所示：A , B , C 是給定的三點(diǎn)，
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
以 AC 為邊向外作正三角形得到點(diǎn) D , 以 BC 為邊向外作正三角形得到點(diǎn) E ,
連接 BD 和 AE 交于點(diǎn) O，我們斷言點(diǎn) O 就是 “費(fèi)馬點(diǎn)” .
費(fèi)馬點(diǎn)的證明方法：
先證 △AEC ≌ △DBC .
△AEC 繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60°，可得到 △DBC，從而 △AEC ≌ △DBC .
于是 ∠OBC = ∠OEC，所以 O、B、E、C 四點(diǎn)共圓 .
拓展知識(shí)：四點(diǎn)共圓判定方法
若線段同側(cè)二點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)連線夾角相等，那么這二點(diǎn)和線段二端點(diǎn)四點(diǎn)共圓 .
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
所以 ∠BOE = ∠BCE = 60°，∠COE = ∠CBE = 60°，
于是 ∠BOC = ∠BOE + ∠COE = 120°，同理可證 ∠AOC = ∠AOB = 120°，
所以 ∠BOC = ∠AOC = ∠AOB = 120° .
初中數(shù)學(xué)最短路徑問題總結(jié)
將 O 點(diǎn)看作是 AE 上的點(diǎn)，隨著 △AEC 一起繞點(diǎn) C 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60° 得到點(diǎn) O2 ,
所以 ∠OCO2 = 60°，OC = O2C , OA = O2D ,
所以 △OCO2 是等邊三角形，于是有 OO2 = OC .
所以 BD = OA + OB + OC .
最短路徑造橋選址問題如下：
初二數(shù)學(xué)軸對稱這一章節(jié)中，課題研究中的最短路徑問題，是中考的熱門考點(diǎn)，在初二的考試中也是經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)。
最短路徑問題中，初中階段主要涉及三方面的內(nèi)容，“將軍培侍飲馬”、“造橋選址”和“費(fèi)馬點(diǎn)”，涉及到的知識(shí)點(diǎn)主要有“兩點(diǎn)之間線段最短”，“垂線段最短”，“三角形三邊關(guān)系”，“軸對稱”，“平移”等，需要同學(xué)們根據(jù)題目給定的條件，
做出最短路徑問題，而這類題目的解題思路就是找對稱點(diǎn)實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直信團(tuán)”，這是最為關(guān)鍵的，從而找到最短路徑的點(diǎn)，解決出最短路徑的問題，
我們先來學(xué)習(xí)一個(gè)比較簡單的“將軍飲馬”類型，最短路徑的求解，通過四種題型，詳解解釋作圖配坦吵方法。希望同學(xué)們能夠認(rèn)真總結(jié)，將這類題目掌握。
以“將軍飲馬”為原型常見的四種類型的題目分別是：
（1）、A,B兩點(diǎn)位于L的同側(cè)，求出直線上一點(diǎn)P，使得PA+PB最小；
（2）、A,B兩點(diǎn)位于L的兩側(cè)，求出直線上一點(diǎn)P，使得PA+PB最小；
（3）、在兩條相交直線L1,L2內(nèi)一點(diǎn)P，在兩條直線上分別求出M,N,使△PMN的周長最小；
（4）、在直線L1、L2上分別求點(diǎn)M、N，使四邊形PQMN的周長最小。
初中數(shù)學(xué)中最短路徑問題，生動(dòng)地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)來源于生活，并用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)生活問題的數(shù)學(xué)應(yīng)用性。
兩點(diǎn)在直線同側(cè)的最短路徑問題
給出一條直線，A、B兩點(diǎn)在直線的同側(cè)態(tài)賣，要在直線上找到一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到A點(diǎn)和到B點(diǎn)的距離最短。
步驟：
①找到A(或B)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)P
②連接PB(PA)交直線于O，點(diǎn)槐閉做O就是所要找的鉛衡點(diǎn)
造橋選址問題
A、B在一條河的兩岸，要在河上造一座橋MN，使A到B的路徑AMNB最短。
步驟：
①作出河的寬度M′N′
②將M′N′平移，使M′向A點(diǎn)平移，N′向A′點(diǎn)平移，即AA′=M′N′
③連接A′B與河岸b交于N點(diǎn)
④過N點(diǎn)作直線a的垂線，垂足為M 。則MN就是橋的位置.
涉及到兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的最短路徑問題
給出一個(gè)正方形，已知兩個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
要在直線上找到這兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使這四個(gè)點(diǎn)所圍的四邊形周長最小。
步驟：
①找到兩個(gè)定點(diǎn)關(guān)于正方形的邊的對稱點(diǎn)，
②連接兩個(gè)對稱點(diǎn)，和正方形邊的兩邊有兩個(gè)交點(diǎn)。
③交點(diǎn)就是動(dòng)點(diǎn)的位置
例題：
(2015，廣西玉林、防城港)如圖，已知正方形ABCD邊長為3，點(diǎn)E在AB邊上且BE=1，點(diǎn)P，Q分別是邊BC，CD的動(dòng)點(diǎn)(均不與頂點(diǎn)重合)，當(dāng)四邊形AEPQ的周長取最小值時(shí)，四邊形AEPQ的面積是 .
最短路徑問題
兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短
連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}．
兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短
如圖所示，在河a兩岸有A、B兩個(gè)村莊，現(xiàn)在要在河上修建一座大橋，為方便交通，要使橋到這兩村莊的距離之和最短，應(yīng)在河上哪一點(diǎn)修建才能滿足要求？(畫出圖形，做出說明)
如圖所示，連接AB交直線a于點(diǎn)P，此時(shí)橋到這兩村莊的距離之和最短．
兩點(diǎn)之間線段最短
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運(yùn)用軸對稱解決距離之差最大問題
如圖所示，A，B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè)，在l上找一點(diǎn)C，使點(diǎn)C到點(diǎn)A、B的距離之差最大．
如圖中彎慶所示，以直線l為對稱軸，作鬧裂點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′，A′B的連線交l于點(diǎn)C，則點(diǎn)C即為所求．理由：在直線l上任找一點(diǎn)C′(異于點(diǎn)C)，連接CA，C′A，C′A′，C′B.因?yàn)辄c(diǎn)A，A′關(guān)于直線l對稱，所以l為線段AA′的垂直平分線，則有CA＝CA′，所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.又因?yàn)辄c(diǎn)C′在l上，所以C′A＝C′A′.在△A′BC′中，C′A－C′B＝C′A′－C′B＜A′B，所以C′A′－C′賣握B＜CA－CB.
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